EVRENSEL KÜME, BOŞ KÜME, ve YARARCILIK (SAYFALARCA DOLU DOLU AYRINTILI SÜPER ANLATIM OKURSANIZ SİZİN FAYDANIZA MUTLAKA TIKLAYIN DERİM!!!)

[Ali Ekber]

EVRENSEL KÜME, BOŞ KÜME, ve YARARCILIK



Tansu KÜÇÜKÖNCÜ

Çanakkale OnSekiz Mart Üniversitesi

Bilgisayar Mühendisliği Bölümü



Evrensellik ve hiçlik, mantık ve varlık-bilimin ötesinde insanlık tarihinin en eski ve en sorunlu kavramlarındandır. İnsanoğlu, bu kavramlardaki belirsizliklerden ötürü sürekli rahatsızlık duymuştur. Varlığının bilincinde olan hemen her insan, belirsizlikleri nedeniyle bu kavramların içini boş bırakmak yerine düşüncelerindeki rahatsızlıkları azaltacak ya da örtecek isteksel tanımlarla içini doldurmayı tercih etmişlerdir. Bilim ve teknolojide kabul edilen tanımlarsa farklı kaygılar taşır.



E ve B üzerindeki tartışmalar, bilimsel platformda gerçekleştiğinde ciddi sorunlara yol açmazlar. Fakat sosyal gruplar arasında gerçekleştiğinde, E ve B'ye ait kendi yorumlarının diğerlerince de kabul edilmesi için bir grubun diğer gruplara çeşitli baskılar uygulaması gibi oldukça ciddi sorunlara yol açabilir.



Bu yazımda kümeler kuramı, varlık-bilim ve özellikle mantık penceresinden bakmaya çalışacağım.



Öncelikle E ve B'nin kümeler kuramı düzlemlerinde kabul edilen bazı tanımlarını hatırlatarak başlamak istiyorum:



Kümeler Kuramı ve Mantıksal Açıdan Evrensellik ve Hiçlik



Varlık-bilim açısından evreni, kabaca, tüm varolan şeylerin oluşturduğu bütün, hiçliği de varolan hiçbir şeyin bulunmayışı olarak tanımlayabilirz.



Kümeler kuramlarının evrensellik kavramına bakışlarını iki grupta toplayabiliriz. Bunlardan birincisi varlık-bilimin bakışıyla aynıdır : Varolan tüm nesnelerin kümesine evrensel küme deriz (veya nesneler, evrensel küme olarak seçtiğimiz kümenin elemanlarıdırlar) [4,230]. Tüm kümelerin biraraya toplanması sezgisel olarak anlamlı bir fikir olarak gözükmektedir [8,153]. İkinci yaklaşım ise evrensel kümenin olay kümesi ya da konuşma evreni olarak değerlendirilmesidir. Aynı yaklaşımlar mantık düzlemlerinde de geçerlidir.



Evrensel küme, verilen bir konuşma evrenindeki tüm ögeleri içeren kümedir ve E ile belirtilir; öyle ki eğer A bir küme ise A È E = E, ve A Ç E = A 'dır [5,268]. Evrensel küme niceliksel mantığın iletişim düzlemi veya değişkenlerinin değer düzleminden başka birşey değildir [4,230]. Buradaki ilginçlik, bugüne değin kullanılıyor olmasına rağmen, evrensel kümenin (sayısal olarak sonsuz terimi) henüz üzerinde herkesçe uzlaşılmış tek bir tanımı yoktur.



Sonluluk ve sonsuzluğun temel olarak birbirinden farklı tanımları vardır [9,26]. Evrensel küme göreceli bir kavramdır [4,230]. Örneğin, Tarski-Grothendieck sisteminin ana özelliği, her küme bir evrenin üyesidir. Bu, E, bir evren olduğunda da geçerlidir. Bir E evreni daha büyük bir V evreninin bir alt kümesidir [8,157].



En az bir tane sonsuz küme vardır [8,68]. Fakat, bir çok farklı sonsuzluk aksiyomu üretilebilir [10,48]. Bu, aksiyomların doğasından kaynaklanmaktadır.



Benzeri durum, hiçlik için de geçerlidir. Kolaylık açısından boş küme, her bir kümenin alt kümesi olarak kabul edilir. Yani, B Ì A, ve B Ì B [7,20][10,24], gibi. Evrensel küme ve boş küme kavramları için yapılan tanımlamalarda birinci derecede kaygı, sistem içerisinde birbiriyle çelişmeyen ilişkilendirmeler üretebilmektir.



Burada aynı zamanda, bilim olarak adlandırdığımız çalışmalarda günümüzde de varlığını sürdüren zayıflıklarla karşılaşmış olduk. Bilimin hedefi, ürettiği doğruların geçerliliğini tüm evreni içine alacak şekilde genişletmek olmakla beraber, belli koşullarda geçerliliği bilinen ve işlev gören doğrular, kullanılmazlık edilmemektedir. Bu, yararcılığın (pragmatism) bilime uygulanmasıdır. Bu tür yaklaşım, mühendislik düşüncesininse tamamen özünü yansıtmaktadır.



Mantık



Mantık, felsefe ve bilimler arasında, özellikle matematik yoluyla, güçlü bir bağ sağlar.



Günümüzde matematikte temel olarak üç farklı okulun görüşleri ön plandadır : sezgiselci, biçimci, ve mantıkçı [1,69].



Mantıkçı okulun tezi, matematiğin mantığın bir dalı olduğudur. Bu görüşe göre, mantık matematiğin sadece bir aracı olmasının ötesinde, atasıdır. Matematiksel kavramlar, mantıksal kavramlar olarak formüllendirilir, ve matematiğin tüm teoremleri, mantığın teoremleri olarak geliştirilir [1,73]. (*)



Mantık, sadece nedensellemenin doğrularını hedefler, veya nedensellemenin geçerlilik kurallarını açıklar (ki bu da düşünmenin en önemli sürecidir) [3,9]. Duyumsal kavramlar, doğru düşünme ve geçerli nedensellemenin kurallarıyla ilişkilendirilir ve modern mantık biliminde sembolik sistemler olarak dile getirilir [3,9]. Rakip mantıksal sistemler, zıt duyumlar sonucu ortaya çıkmışlardır [3,9].



Mantık sistemleri oluşturulurken bazı temel temel prensiplere uyulmalıdır; bunlar :

- Eşitlik,

- Çelişmezlik, ve

- Üçüncü seçeneğin yokluğudur [3,9].

Fakat bu prensipler de sorgulanamaz değillerdir.



Mantığın, diğer tüm bilimlerin altında yatan fikir ve prensipleri içeren bir bilim olduğu şeklindeki nosyonu, Leibniz'le birlikte en azından 1666 yılına tarihlenmektedir. Dedekind, Frege, and Peano gibi isimler de mantıkçı okulun öncüleri olarak kabul edilirler [1,73]. Mantıkçı okul kesin tanımını, A.N.Whitehead ve B.Russel'ın anıtsal eseri Principia Mathematica (1910-1913) ile almıştır. Bu karmaşık çalışma, tüm matematiğin mantığa indirgenmesini detaylı bir şekilde göstermiştir [1,74].



Son zamanlarda ben, sen, o, önce, şimdi, sonra şeklinde gösterimsel (veya göreceli) sabitleri içine alan yararcı mantıksal sistemler de ortaya çıkmaya başlamıştır. Bu sistemler, bir önermenin tek bir anlamı olduğu ilkesine uymazlar [3,12].



Küme Kuramı



Küme kuramının doğuşu 1874'te Cantor'un makalesinin yayınlanışı olarak kabul edilebilir [1,23].



Cantor'un tanımına göre, bir küme, sezgilerimizin veya zihnimizin belirli (öyle ki, bir küme ve bir nesne verildiğinde, o nesnenin, o kümenin elemanı olup olmadığını anlayabilmek olanaklı olacak), ayırtedilebilir (bir kümenin elemanı olarak nitelendirilen bir çift nesne verildiğinde, bunların aynı mı, yoksa birbirlerinden farklı mı olduklarını anlayabilmek olanaklı olacak) nesnelerinin bir bütün olarak kavranabilecek şekilde bir araya toplanmış halidir. Bu nesneler, kümenin elemanı veya ögesi olarak adlandırılırlar. Bir küme, tamamıyla elemanları tarafından belirlenir [2,2] [9,42] [10,15]. Cantor'un kuramının köşetaşı, hangi nesnelerin bir kümenin elemanı olup, hangilerinin olmadıklarına karar verirken sezgilerimiz tarafından yönlendiriliyor oluşumuzdur. Bu nedenle sıklıkla sezgisel küme kuramı olarak da anılır [2,127].



Mantığın temel nosyonlarına ek olarak, ilkel terimlerimiz küme ve Î'dir (elemanı olma). Temel varsayımımız, A bir küme ve a bir oluşsa, A ve Î'nin bir cümle oluşturduğudur. Aynı zamanda her bir kümenin de bir oluş olduğunu ve böylece bir başka kümenin elemanı olabileceğini de varsayarız [8,10].



Küme kuramı, özellikle bu yüzyılın ilk on yılında matematikle mantık arasında en önemli bağlayıcı unsur haline gelmiştir [9,88].



Aksiyomatikleştirme



Kısır döngülerden kurtulmak veya anlamsız sonuçlardan kaçınmak için, anlamlarını önsel olarak kavrayabildiğimiz ilkel terimler, yani kesinlikle doğru anlamları olduğu duyumsanabilen temel kavramlar, ve ilkel önermeler, diğer bir deyişle ilkeler kullanmalıyız [3,8]. Tabii, burada önsel doğrular kabul edebilmek için soru sormayı nerede bırakmamız gerektiğini belirleyebilmek de önemli bir sorundur.



Aksiyomların doğrulukları kendiliğinden belli olarak kabul edilir [2,224]. Aksiyomatik yöntem kavramını, eski yunan geometrisini oluştururken, Elemanlar isimli eserinde Euclid kullanmıştır [2,221]. Küme kuramı ilk kez 1908'de Zermelo tarafından aksiyomatikleştirilmiştir [1,68].



Küme Kuramının Paradoksları Üzerine



19. yy'ın sonlarına doğru, Cantor'un genel küme kuramının köşelerinde paradokslar (çelişki, zıtlık, ikirciklik; bilinenler ya da kabul edilenlerle uyuşmayan, ters düşen olgular) keşfedilmeye başlanmıştır. Bu paradoksların keşfi, matematiğin temellerinde en ciddi derecede rahatsız edici krizleri oluşturmuştur; ve halen de tam anlamıyla tatmin edici düzeyde çözüme ulaştırılamamışlardır [1,51]. Paradoksların keşfi, küme kuramında içerik ve yöntem olarak değişikliklere gidilmesine yol açmıştır [10,15]. Cantor'un kuramındaki çelişki çok büyük kümelerle ilişkilidir [2,127]. Bu paradokslar, her özelliğe ilişkin bir küme olduğu, ve her kümenin belirleyici bir özelliği olduğu savlarının yanlış olduğunu göstermiştir [2,128].



Russel'ın paradoksu, temel bir felsefi disiplin içinde yer alıyor görünen ilk paradokstur. Elea'lı Zenon'dan Kant'a ve 19. yy'ın dialektik felsefesine kadar, bilgi-bilimsel çelişkiler az da olsa bir kısım düşünürlerin dikkatlerini çekmiş, ve bu sorunları aşma yönünde alışılagelmiş kuramlarını sorgulama ve düzeltmelere gitme gereksinimi hissettirmiştir. Fakat Russel'a kadar, bu kadar alçak düzeyde ortaya çıkıp, bu kadar güçlü bir şekilde, iki kesin bilimin, matematik ve mantığın, en temel nosyonlarını içine alan bir zıtlık ortaya çıkmamıştır [10,2].



Sezgisel küme kuramının her özelliğin bir kümeyi belirleyeceği şeklindeki iddiası onun Aşil kemiği olarak görülebilir. Gerçekten, kısıtlama getirilmeden kullanıldığı taktirde, bu ilke mantıksal çelişkilerin türetilebileceği en az 3 kümenin ortaya çıkmasına yol açacaktır:

1. Russel paradoksu : x Ï x.

2. Cantor paradoksu : x bir kümedir.

3. Burali-Forti paradoksu : x bir sıralı sayıdır. [2,127]



Godel-Bernays kuramında, Russel paradoksundan sakınmak için paradoks oluşmasına yol açan guruplar için yeni bir tanım getirilerek küme yerine sınıf olarak adlandırılmışlardır. Yani, Godel-Bernays sistemi, ilkel terimler olarak, küme ve Î'nin yanında sınıfa da sahiptir. Her küme aynı zamanda bir sınıftır, fakat tersi doğru değildir [8,153]. Lemmon, aynı amaç için özel küme kavramını kullanmıştır [11,18].



Günümüzde aksiyomatik kuramlar, temel olarak sezgisel küme kuramının yolunda devam edilebilecek kadar esnektirler, ve klasik paradoksları bir şekilde atlatmaktadırlar (tutarlı olduklarını öne sürerek); fakat henüz hiç kimse tutarlı olduklarını ispatlayabilmiş değildir [2,129].



Yüzyılımızın başından beri ortaya çıkan paradokslara ait teşhis ve tedavi yöntemleri, her biri kendi içlerinde de çeşitli gruplar oluşturmakla birlikte, üç temel grup altında toplanabilir: aksiyomatik, mantıksal, ve sezgisel.



Sonuç



Her mantıksal olarak doğru önerme, doğrudur, fakat her doğru önerme mantıksal olarak doğru değildir. Sorun, mantıksal olarak doğru önermelerin gerçeklikte karşılıklarının olup olmamasıdır [3,12].



Bir önermeyi mantıksal olarak doğru kabul etmek için kriterimiz ne olmalı ? :

1. İşlemeli, iş görmeli. Ve bu işleyiş bize olumlu bir kazanç sağlamalı. Yani, başarı göstermeli. İşleyip işlemediğini öğrenmenin tek yoluysa deney yapmaktır (bu, teorik bir deney de olabilir). Bunun ötesinde genellenmesini arttımak için o kuramın uzman kullanıcıları arasında bir görüş birliği sağlanmalı.

2. Geçerli olmalı, en azından konu alanı içerisinde. Arzulanan ve ideal olan, evrensel geçerliliktir. Doğruluğun geçerli olduğu konu alanının genişletilmesi doğruluğun derecesini arttıracaktır. (yararcılıkla ilgili daha fazla bilgi için bkz. kay. 12, 13, 14, ve 15).



Bu yüzden benim mantık tanımım biraz farklı. Mantık, iletişimin sistemleştirilmesidir; iletişimse işleyecek (işe yarayacacak) bir şeyler yapabilmek için birisinin, kendi veya başkasının fikirleri arasında bağlantı kurabilmesidir. Şu aşamada bir tek geçerli mantık sistemi olduğunu ya da olabileceğini söylemek olanaklı değildir. Ancak, bir mantık sisteminin belli sınırlar içerisinde geçerli tek sistem olabileceğini söylemek olanaklıdır. Bu tanımın günlük yaşama daha uygun olduğunu düşünüyorum.



Evrensellik ve hiçliğin tanımları, gerçekliğe uygun olmalıdır. Fakat gerçeklik hakkındaki bilgilerimiz oldukça sınırlıdır. Bu durumda iki seçeneğimiz var: birincisi, sadece bilinenlere ait bilgilerimizle yaşamaya (düşünmek, nedensellemek, çalışmak, gibi) çalışmak; ikincisi, gerçekliğe ilişkin henüz bilmediğimiz doğrulara ihtiyaç hissettiğimizde, (en iyi) iş görebilecek önermeleri, iş görmeye devam ettikleri sürece, doğru olarak kabul etmek.



E É B (örn. Lemmon), E = B (örn. Zermaelo-Fraenkel), ve hatta E Ì B aksiyomlarından yola çıkarak kendi içlerinde tutarlı mantık sistemleri oluşturabilmek olasıdır. Matematikte bugüne değin alışagelmiş olduğumuz yaklaşımlara ters düşüyormuş izlenimi vermekle birlikte, bunlardan en sonuncusu, E Ì B, akla en uygun olanıymış gibi gözükmektedir. Bunun nedeni de evrenin dışa doğru büyümekte olduğunu savunan günümüzün fizik kuramlarıyla uyum içinde gözükmesidir. Bilimin varsayımı, boşluk (ya da hiçlik) olmadığı taktirde, nesnelerin varolacak mekan bulamayacakları, bu yüzden de varolamayacakları şeklindedir. Burada söz konusu olan E ve B, varoluş ve varolmayışa karşılık gelen sonsuzluk içeren kavramlardır. E Ì B varsayımı, farklı şekillerde hiçlikleri sonsuz bir hiçlikten (varolanların evreninin içinde genişlediği) ayırtetmemizi sağlayacak ek tanımlara gereksinimi ortaya çıkartabilecektir. Bu, varolanların sonsuz olmadığı sonucunu da beraberinde getirmektedir. Bu görüş de günümüzdeki fizik kuramlarına uygundur. Bu durumda şöyle bir soru akla geliyor : eğer sonsuz terimi, evrende tüm varolanların bir şekilde simgesel olarak belirtilmesine karşılık geliyorsa, '0' da hiçliğe karşılık geliyorsa; '0' mı büyük, yoksa sonsuz mu ?



Kullanılan Simgeler :



E : Evrensel küme, uzay, çalışma uzayı ; B : Boş küme ( F, Æ, ve { } gibi simgeler de yaygın olarak kullanılmaktadır) ; Î : Elemanı olma ; Ì : Alt küme ; É : Kapsar ; È : Bileşme ; Ç : Kesişme



Yazarın notu :



(*) Burada ilginç bir ilişki göze çarpmaktadır. Mantık, matematik için temeli, en alt düzeyde ispatlarla oluştururken, öncelikle kümeler kuramından yola çıkar. Örneğin, sayılar, ilişkiler gibi kavramlar, en temel düzeyde mantık aracılığıyla kümeler kuramının ispatlanması sırasında tanımlanır. Hedef, buradan devam ederek, bu ispatları matematiğin tüm dallarını kapsayacak şekilde yapmaktır. Her ne kadar Gödel, yaptığı kanıtlamayla matematiğin kanıtlanabilirliğinin sınırları olduğunu göstermişse de [16], buradaki ilginçlik, ispatta kullanılan doğruluk ve yanlışlık kavramlarının da bir küme oluşturduğudur. Sadece doğru ve yanlışı kullanan iki değerli mantık sistemleri için durumu kurtaracak bir açıklama bulabilsek bile çok değerli mantık sistemleri (üç değerli, olasılıkçı, bulanık mantık sistemleri gibi) için bu olanaklı gözükmemektedir. Burada karşımıza bir kısır döngü çıkmaktadır: mantık aracılığıyla kümeler kuramını ispatlarken, özellikleri henüz ispatlanmamış bir değer kümesi kullanmak.



Kaynakça :



1. Johnson, P.E., (1972). A History of Set Theory. Prindle, Weber, & Schmidt Inc. (İngilizce)

2. Stoll, R.R. Set (1993). Theory and Logic. W.H. Freeman, San Fransisco (İngilizce)

3. Grunberg, T. "Mantık Felsefesi". Felsefe Dünyası

4. Grunberg, T., Batuhan, H. (1984).Modern Mantik. ODTÜ Yayınları

5. Yıldırım, C., (1981). Logic: The Study of Deductive Reasoning. METU Publications (İngilizce)

6. Hançerlioğlu, O., (1989). Felsefe Sözlüğü (7. bas.). Remzi Kitapevi

7. Dönmez, A., (1987). Kümeler Kuramı ve Soyut Matematik. ****** Üni. Yayınları

8. Hayden, S., Kennison, J.F., (1968). Zermelo-Fraenkel Set Theory. C.E.Merrill Publishing Co. (İngilizce)

9. Fraenkel, A.A., (1966). Set Theory and Logic. Addison-Wesley P.Co. (Ingilizce)

10. Fraenkel, A.A., Bar-Hillel, Y., Levy, A., (1973). Foundations of Set Theory (2nd ed.). North-Holland P.Co. (İngilizce)

11. Lemmon, E.J., (1968). Introduction to Set Theory yaz. Routledge & Kegan Paul Ltd. (İngilizce)

12. Scheffler, I., (1974). Four Pragmatists 'A critical Introduction to Peirce, James, Mead, and Dewey'. Humanities Press (İngilizce)

13. James, W. (1972). Pragmatism. Prentice-Hall (İngilizce)

14. Thayer, H.S., (1968). Meaning and Action 'A Critical History of Pragmatism'. The Bobbs-Merril Company, Inc.

15. Morris, C., Braziller, G., (1970). The Pragmatic Movement In American Philosophy. (İngilizce) 16. Nagel, E., Newman, J.R. (1994). Gödel Kanıtlaması: Matematiğin Sınırları. çev. Bülent Gözkan, Sarmal Yayınevi