İki Kümenin Farkı & Tümleme İşlemi

[Ali Ekber]

KONU:EVRENSEL KÜME,BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ,İKİ KÜMENİN FARKI,AÇIK ÖNERMELER
EVRENSEL KÜME
Bir kümeye ait elemanlar yanında, bu kümeye ait olmayan elemanların kümesinden de söz edilebilir.Yalnız, bir kümeye ait olmayan bütün elemanların kümesi çok geniş olacağından, hem kullanışlı olmaz hem de hangisinin eleman olup olmadığını tanımlamak güç olur .Bu sebeple bir evrensel küme kabul edilir.Küme denildiğinde bu kümenin elemanları anlaşılır.
AE dir
Tüm kümeler evrensel kümenin bir alt kümesidir.Yukarıdaki örnekte; E={x,y,z,a,b} dir
TANIM:Elemanları, incelenen probleme göre belirlenen en geniş kümeye, evrensel küme denir ve E ile gösterilir.

ÖRNEKLER
1. “x³-27=0 denklemini saglayan tek sayıyı bulunuz.”probleminde evrensel küme; E={1,3,5,7,9,11,…} tek sayma sayıları kümesidir.
2. “1 ile 15 arasında ve x²- 4=0 denklemini sağlayan asal sayıları bulunuz.” Probleminde evrensel küme; E={2,3,5,7,11,13} dir.
3. A={a,b,c,d,e} kümesinin evrensel kümesi ; E={Türk alfabesi} dir.
4. A={1,2,3,4,5,6,} ise A kümesinin evrensel kümesi; Eı={1,2,3,4,…} E2={xl x, tam sayı} E3={xl x, gerçek sayı} kümeleridir.
5. A={ü, ç, g, e, n,} ile A nın evrensel kümesi, E={d, і, k, ü, ç, g, e, n} veriliyor. EA ve EA kümeleri bulunuz.
Çözüm: EA={d,і,k,ü,ç,g,e,n}  {ü,ç,g,e,n}={ü,ç,g,e,n}=A  E A=A dır. EA={d,і,k,ü,ç,g,e,n}{ü,ç,g,e,n}={d,і,k,ü,ç,g,e,n}=E  EA=E dir.

________________________________________
TÜMLEME
TANIM: A bir küme olsun. Evrensel kümede A ya ait olmayan elemanların kümesine Anın tümleyeni denir ve A ile gösterilir
A nın tümleyeni A{xl x  xA} olup tanıma göre, aA  aA dır.

TÜMLEMENİN ÖZELLİKLERİ
1. Ø=E ve E=Ø
2. Her A kümesi için ,(A)=A dır.
3. Her A kümesi için ,AA=E=AA dır.
4. Her A kümesi için ,AA=Ø=AA dır.
5. (AB)=AB ve (AB)=AB dir.
6. AB  BA dir.
ÖRNEKLER
1. E={0,1,2,3,4,…} ve A={1,3,5,7,…} olduğuna göre, A={0,2,4,6,…} dir
2. A={1,2,3,4,5} ve E={xlx, sayma sayısı} ise A nın kümesini tümleyeni, A={6,7,8,9,…} dir.
3. A={1,3,5} ile A nın farklı evrensel kümeleri; Eı={1,3,5,7,9} ve E2={1,2,3,4,5,6,7,8,9} veriliyor. A kümesinin Eı ve E2 kümelerindeki tümleyenleri kümelerini bulalım. Aı A2 müdür?
ÇÖZÜM: A nın Eı deki tümleyeni, A1={7,9} dur. A kümesinin E2 deki tümleyeni, A2 {0,2,4,6,7,8,9} dur. AI  A2 dür.Bir kümenin farklı 2 evrensel kümeye göre tümleyeni farklıdır.
________________________________________
İKİ KÜMENİN FARKI
TANIM: A ve B iki küme olsun. A kümesine ait olup da B e kümesine ait olmayan elemanların oluşturduğu yeni kümeye A nın B den farkı denir.AB (ya daA-B) ile gösterilir.

AB={xl xA  xB} yazılr.Venn şemasıyla AB kümesi, aşağıdaki şekilde gösterilir.
AB kümesi E de boyanan bölgedir.

ÖRNEKLER
1. A={a,r,t,v,і,n} ve B={t,v} olduğuna göre, AB ve BA kümelerini yazınız.
ÇÖZÜM: AB Aşağıdaki şemada boyalı kısımdır.

AB={a,r,і,n} dir. BA= Ø dir.
2. A={a,b,c,d,e,f}, B={a,b,k,n} olduğuna göre , AB ve BA kümelerini bulalım.
ÇÖZÜM: AB={c,d,e,f} ve BA={k,n} dir. O halde, AB  BA dır.Vvenn şsemasıyla, aşağıdaki şekilde gösterilir:


3. A={1,2,3} ve B={p,r,s} olduğuna göre, AB ve BA yı bulunuz.
ÇÖZÜM: AB={1,2,3} ve BA={p,r,s} olup, Venn şemasıyla ,

bulunur.
________________________________________
AÇIK ÖNERMELER

“xN olmak üzere “x, 3 ün katıdır.” Biçiminde bir cümlenin açık bir önerme olduğu mantık bölümünde ifade edilmişti.x yerine doğal sayılar kümesinden bir eleman konulduğunda cümle, önermeye dönüşmektedir.

“x, 3 ün katıdır” ifadesinde, x in yerine 6