Çarpanlara Ayırma -Wikipedia.Com'a Teşekkürler-[Alıntıdır]

[Ali Ekber]

ÇARPANLARA AYIRMA

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

B. ÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı - Toplamı

1) a2 – b2 = (a – b)(a + b)

2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab




2. İki Küp Farkı - Toplamı

1) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2 )

3) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

4) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)




3. n. Dereceden Farkı - Toplamı

1) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + ... + xyn – 2 + yn – 1) dir.




2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3y2 – ... – xyn – 2 + yn – 1) dir.




4. Tam Kare İfadeler

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

4) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere,

• (a – b)2n = (b – a)2n

• (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.




• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab








5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni


(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.

Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.

(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur. • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

• (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4

• (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4




• a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)

• a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

• a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 – 2ab + 2b2)




• a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)





C. ax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz. En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.




1. YÖNTEM

1.1. a = 1 için,

b = m + n ve c = m × n olmak üzere,




1.2. a ¹ 1 İken

m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise




ax2 + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.




2. YÖNTEM

Çarpımı a × c yi,

toplamı b yi veren iki sayı bulunur.

Bulunan sayılar p ve r olsun.

Bu durumda,daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.


--------------------------------------------------------------------------------

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA A(x) . B(x) ± A(x) . C(x) = A(x) . [B(x) ± C(x)]

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.,

B. ÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı - Toplamı

a2 – b2 = (a – b) (a + b) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab ya da a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab dir.

2. İki Küp Farkı - Toplamı

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 ) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab (a – b) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b) 3. n. Dereceden Farkı - Toplamı

i) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xn – yn = (x – y) (xn – 1 + xn – 2 y + xn – 3 y2 + ... + xyn – 2 + yn – 1) dir.

ii) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xn + yn = (x + y) (xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – ... –

xyn – 2 + yn – 1) dir.

4. Tam Kare İfadeler

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) n bir tam sayı olmak üzere,

(a – b)2n = (b – a)2n
(a – b)2n – 1 = – (b – a)2n – 1 dir.,
(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
5. (a ± b)n nin Açılımı




Pascal Üçgeni

(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.

Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak katsayılar belirlenir.

(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4
(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
C. ax2 + bx + c

BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN

ÇARPANLARA AYRILMASI

1. a = 1 için,

b = m + n ve c = m . n olmak üzere,

x2 + bx + c = (x + m) (x + n) dir.













ALINTIDIR