Koni www.matematikicin.eniyiforum.net

[Ali Ekber]

KONİ

Tanım : Düzlemsel kapalı bir l eğrisi ile eğrinin bulunduğu düzlemin dışında bir P noktası veriliyor. P den geçip eğriyi kesen hareketli doğruların oluşturduğu kapalı yüzeye konik denir.



P noktasına tepe noktası hareket eden doğrulara ana doğru denir.

Tanım : Konik yüzeyin bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen düzlem ile tepe noktası arasında kalan cisme koni denir. koniler tabanlarındaki eğriye göre isimlendirilir. Eliptik koni, dairesel koni gibi. Arakesit ile tepe noktasındaki eğri yüzeye yanal yüzey denir. Tepenin tabana uzaklığına yükseklik denir.

1) Dik Dairesel Koni

Tanım : tabanı daire olan, yükseklik ayağı dairenin merkezine inen koniye dik dairesel koni denir.



2) Özellikleri

1- Ana doğrular birbirine eşit uzaklıktadır.
2- Tepe noktasından geçen bir düzlemle kesilir.



3- Dairesel koniler taban kenarları sayısı aynı sayıda çoğaltılmış piramit olarak düşünülebilir.

3) Dik Dairesel Koninin Alanı ve Hacmi





Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının 1 ine eşittir. Hacim = 1 Л . r2 . h
3 3
Yanal Alan, taban çevresi ile ana doğrunun çarpımının yarısına eşittir.
Yanal Alan = Лr2 a_ = Лar
360
Tüm Alan, yanal alan ile taban alanın toplamına eşittir.
Tüm alan = Лar + Лr2

Örnek :
Yanal alanı 135Л cm2 olan dik bir koninin taban yarıçapı 9 cm dir.
Bu koninin hacmi kaç cm3 tür?
A) 282Л B) 292Л C) 302Л D) 312Л E) 324Л

Çözüm :

Yanal alan = Лar
→ Л . 9 . a = 135Л
→ a = 15 cm olur.

POB dik üçgeni (9-12-15) özel dik üçgeni olduğu için |PO| = 12 cm olur.
Hacim = 1 . Л . r2 . h
3
= 1 . Л . 92 . 12
3
= 324Л cm2
CEVAP : E



Örnek :


[AB] çaplı yarım daire kıvrılarak bir koni elde ediliyor.
Koninin hacmini bulunuz.



Çözüm :


r = a_ →
a 360
r = 180 →
6 360
r = 3 cm olur.

OMB dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa
|OB|2 = |MB|2 + |OM|2 →
62 = 32 + |OM|2 →
|OM| = 3√3 cm olur.

Hacim = 1 Лr2 . h
3
Hacim = 1 . Л . (3)2 . (3√3) = 9√3Л cm2 bulunur.



Örnek :
Bir koniden KAO ve KCO düzlemleriyle bir koni dilimi çıkarılıyor.
m(AÔC) = 30o
|KB| = 10 cm
|OC| = 6 cm




Yukarıdaki verilere göre, çıkartılan cismin hacmi kaç cm3 tür?

Çözüm :

KOB özel (6-8-10) dik üçgeni olduğundan
|OK| = 8 cm dir.
Koninin hacmi = 1 Л r2h
3
= 1 Л . 32 . 8
3
= 96Л cm3

Cisim hacmi = 96Л . 30_ = 96 . 1_ Л
360 12
= 8 Л cm3 bulunur.

4) Dik Dairesel Kesik Koni
Tanım : Dik dairesel koninin tabanına paralel bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen parçalardan dik koni olmayan cisme dik kesik koni denir.



5) Özellikleri

1- Yanal yüzey daire halkası dilimlidir.

2- (P, AıB) dik konisi (P, AB) dik konisine benzerdir.
a) Uzunlukları oranı benzerlik oranının karesine eşittir.
|PAı| = |PBı| = rı = hı = k
|PA| |PB| r h

b) Alanlar oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir.
Sı = k2
S
c) Hacimler oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir.
V (P, AıBı) = k3
V (P, AB)

3- Kesik koninin hacmi = Л (r2h – rı2hı)
3
V (P, AB) – V (P, AıBı) = 1 Л (h – hı) (r2 + rı2 + r . rı)
3
bağıntısıyla bulunur.

4- Yanal alan, üst ve alt taban çevreleri toplamının yarısı ile ana doğrusunun çarpımına eşittir.
Yanal alan = Л (r + rı) . a

5- Tüm alan, iki taban alanı ile yanal alanın toplamına eşittir.
Tüm alan = Лr2 + Лrı2 + Л a ( r + rı)

Örnek :
Dik koninin içine dik silindir yerleştiriyor.
Koninin yarı çapı silindirin yarı çapının iki katına eşittir.
Koninin hacmi 54Л cm3 olduğuna göre, silindirin hacmi kaç cm3 tür?




Çözüm :
PAH ≈ PCO olduğundan |HA| = r ve |OC| = 2r, |PH| = h
|AH| = |PH| →
|OC| |PO|
r = h →
2r |PO|
|PO| = 2h olur.


Vkoni = Л (2r)2(2h) = 54Л → r2h = 81 cm3 olur.
3 4
Vsilindir = Лr2h = Л . 81 cm3 bulunur.
4

Örnek :
|LO| = 12 cm
|OB| = 8 c