Doğal Sayılar -Ayrıntılı Geniş Özel Anlatım-

[Ali Ekber]

DOĞAL SAYILAR
İlkel toplumlarda sayı fikri gelişmemişti. Bu toplumlarda insanlar örneğin “ iki koyun” , “iki keçi” , “iki ağaç” için ayrı ayrı deyimler kullanılmış , eşyadan ayrı soyut olarak “iki” kavramına erişememişlerdi.
Uygarlığın ilerlemesi ile insanlar, aynı çokluktaki nesnelerden soyutlama yolu ile sayı kavramına erişmiş ve sayıları işaretlerle göstermişlerdir.
Sayılar, insanların etrafında gördüğü ve devamlı olarak temasta bulunduğu eşyaları, nesneleri saymak ihtiyacından doğmuştur. İlk insanlar kümelerin elemanları aralarında eşleme yaparak sayı fikrinin gelişmesinde katkıda buludular.
Zamanla bilinen sayılar ihtiyacı karşılayamaz durumda kalınca yeni sayı kümeleri geliştirmişlerdir.
Şimdi doğal sayıları matematikçi gözüyle ele alıp inceleyeceğiz. Bunun için önce eşit güçlü cümleler kavramını tanıyalım.
--Eşit Güçlü Cümleler
Tanım: A ve B iki cümle , f: A b bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu birebir ve örten ise bu fonksiyona birebir eşleme denir. A dan B’ ye en az birebir eşleme varsa A ve B cümlelerine eşit güçlü cümleler denir.
A cümlesinin B cümlesine eşit güçlü olduğunu A  B biçiminde gösterilir.
Örnek: A = {a,b,c } ve B = {x,y,z } olduğuna göre A cümlesi B cümlesine eşit güçlüdür. Yani A  B dir. Çünkü A dan B ye birebir ve örten en az bir fonksiyon vardır.
Teorem: Herhangi bir cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
İspat: Cümleler ailesini A, bağıntıyı B ile gösterelim.
B ={(a,b )I A,B  A ve A  B } dir.
A  A için IA : A A, IA (x) = x fonksiyonu birebir ve örten olduğundan A cümlesi A cümlesine eşit güçlüdür. A A olduğundan B yansıyandır.
(A,B)  B  A  B
 f, f: A B 1:1 ve örtendir.
 f-1 : B  A 1:1 ve örtendir.
 B  A
 (B, A )  B olduğundan B simetriktir.
 (A,B)  B ve (B,C)  B   f,g için f: A B ve g: BC 1:1 ve örtendir.
 gof: A C 1:1 ve örtendir.
 A  C
 (A,C )  B olduğundan B geçişlidir.
B bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişli olduğundan bu bağıntı denklik bağıntısıdır.
DOĞAL SAYILAR CÜMLESİ
Herhangi bir cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısının bir denklik bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu biliyoruz. Buna göre sonlu aileler kümesinde tanımlı eşit güçlü olma bağıntısı da bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntı sonlu cümleler ailesini denklik sınıflarına ayırır.
Sonlu bir X cümlesinin denklik sınıfını ile gösterelim.
= {yI y x } dir.
Boş cümlenin sonlu cümle olduğunu biliyoruz. Bu cümlenin denklik sınıfını 0 ile gösterelim ve ‘sıfır’ diye okuyalım. Buna göre;
 = 0 = {y I y  } dır.
{0} cümlesi sonlu bir cümledir. Bu cümlenin denklik sınıfını 1 ile gösterelim ve ‘ bir’ diye okuyalım. Buna göre;
{ } = 1={y I y  {0} } dır.
{0,1} cümlesi sonlu bir cümledir. Bu denklik sınıfını 2 ile gösterelim ve ‘iki ’ diye okuyalım. Buna göre;
{ }= 2 ={y I y  {0,1} }dır.
Bu işlem sürdürülürse, { } = 3= {y I y  {0,1,2}}
{ } = 4 = {y I y  {0,1,2,3}}... elde edilir. Öyleyse aşağıdaki tanım verilebilir.
Tanım: Sonlu cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısına göre elde edilen ve 0,1,2,3,4, ... ile gösterilen denklik sınıflarından her birine doğal sayı denir. Doğal ayılar kümesi N ile gösterilir.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} dir.
Teorem: iki doğal sayı ya eşittir ya da birbirinden farklıdır.
İspat: Her bir doğal sayı bir denklik sınıfıdır. İki denklik sınıfı ya eşit ya da farklı olduğundan bunların belirttiği doğal sayılar ya birbirine eşittir veya birbirinden farklıdır. Yani x, y  N olduğuna göre ya x= y dir veya x  y dir.

Doğal Sayılar Cümlesinde Toplama
Tarihsel Not: “ Toplama” kelimesi Latince ilave etmek anlamına gelen “ adhere “ kelimesinden gelir. Widman ilk olarak “+” ve “-“ işaretlerini 1489 da “-“ nedir? eksiğidir, “+” nedir? fazlasıdır, diye ifade etmiştir.”+” sembolünün Latince “et” kökenli olduğuna inanılır.
Tanım: x ve y iki doğal sayı olsun. x sayısını temsil eden bir A cümlesi ile y’ yi temsil eden ve A ile ayrık olan bir B cümlesinin birleşiminin bulunduğu denklik sınıfına x ile y’ nin toplamı denir. Toplamını bulmak için yapılan işleme toplama işlemi denir. x ve y doğal sayılarının toplamı x+y ile gösterilir.
Aşağıdaki önermelerden her biri doğrudur.
a) Doğal sayılar cümlesi toplama işlemine göre kapalıdır.
b) Toplama işleminin değişme ve birleşme özelliği vardır.
c) Doğal sayılar cümlesinin toplama işlemine göre etkisiz (birim) elemanı sıfırdır.
Doğal Sayılar Cümlesinde Çarpma
Tarihsel Not: “Çarpma” kelimesi Latince “fazla katı olan” anlamına gelen “multiplicare” kelimesinden gelmiştir. Çarpma için x sembolünü Oughtred 1631 tanıtmıştır ve Harriot “.” yı aynı yıl kullanmıştır. 1968 de Leibniz , Bernoulli ye yazdığı mektubunda şöyle dedi: “ Çarpma işlemi için x simgesinin kullanılmasını sevmiyorum çünkü  ile kolaylıkla karıştırılabilir... Genelde iki sayıyı araya nokta koyarak çarpma işlemi yaparım”
Günümüzde çarpma işlemi 3 x a da olduğu gibi x işaretiyle,
3.a da olduğu gibi bir noktayla
3(a) da olduğu gibi parantezle veya
3a da olduğu gibi birleşik olarak gösterilir.
Tanım: x ve y iki doğal sayı olsun. x sayısını temsil eden bir A cümlesi , y’ yi temsil eden B cümlesinin kartezyen çarpımının bulunduğu denklik sınıfına x ile y’ nin çarpımı denir. Çarpımı bulmak için yapılan işleme çarpma denir. x ve y doğal sayılarının çarpımı x xy, x.y veya xy biçimde gösterilir.
Aşağıdaki önermelerden her biri doğrudur.
a) Doğal sayılar cümlesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
b) Çarpma işleminde değişme ve birleşme özelliği vardır.
c) Doğal sayılar cümlesinin çarpma işlemine göre etkisiz (birim) elemanı 1 ‘ dir.
Kapalılık Özelliği
Herhangi iki doğal sayıyı toplarsak ya da çarparsak yine bir doğal sayı elde ederiz. Bu bilgi tecrübeyle sabittir (tüme varım mantığı ) fakat aslında tüm doğal sayılar değil küçük bir kısmı denemiş ve sonuç elde edilmiştir. Bilim adamları ve özellikle matematikçiler çabuk tahminde bulunma konusunda çok şüphecidirler. Herhangi iki doğal sayının toplama veya çarpma sonucunun yine bir doğal sayıyı vermesi kapalılık özelliği olarak adlandırılır.
Birleşme ve Değişme Özelliği
Doğal sayıların diğer bir açık özelliği toplama işleminin sırasıyla ilgilidir. Buna toplama işleminin değişme özelliği denir ve sayıları toplama sırasının sonucu değiştirmeyeceğini belirtir; yani a+b = b+a dır.
Değişme özelliği sayıların yerini değiştirmemizi sağlar, buna sıralam özelliği denir.
Birleşme özelliği birlikte hesaplamada ve sadeleştirmede kullanılır.
Birleşme özelliği toplamada sayıları gruplandırmamızı sağlar.
Üç sayıyı toplayacağımızı farz edelim. Bu sayıları toplamak için önce ikisini toplayıp sonra toplama üçüncü sayıyı eklemek gerekir. Birleşme özelliği gösterir ki, herhangi iki rakamın ilk olarak toplanacağı sorun değildir, sonuç aynıdır. Eğer parantezler ilk olarak toplanacak iki sayıyı gösterirse bu özellik şöyle gösterilir;
(2+3)+8=2+(3+
Parantezler ilk olarak toplanacak rakamları gösterir. Toplamada birleşme özelliği üç ya da daha fazla sayının toplamında da kullanılır.
Şimdi de doğal ayılar kümesi için çarpma özelliğinin değişme ve birleşme özelliğini inceleyelim;
Değişme: 2x3 3x2
Birleşme: (2x3)x4 2x(3x4)
Değişme ve birleşme özellikleri arasındaki ayırımı yapabilmek için şunları hatırlayalım;
1- Değişme özelliği kullanıldığında rakamların sağdan sola, soldan sağa sırası değiştirilebilir. Ama grup lama değiştirilmez
2- Birleşme özelliği kullanıldığında, rakamlar farklı gruplandırılır ama sıraları değiştirilmez.
3- Eğer hem gruplama hem de sıralamaları değiştirilirse hem değişme hem de birleşme özelliği kullanılmış olur.
Değişme ve birleşme özellikleri doğal sayılar kümesi ile sınırlandırılmaz ya da sadece toplama ve çarpma işlemleriyle de sınırlandırılmaz. Aslında kendi sayı grubumuzu oluşturmak ve bu özelliklerin geçerli olup olmadığını bulmak eğlencelidir.