Gerçek Sayılar (Alıntı)

[Ali Ekber]

Alıntıdır. İçeriğini kendimiz yüklemedik. Yanlışlardan [Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] sorumlu değildir.

Çoğu bilgisayar donanımı iki çeşit sayıyı destekler: tamsayılar (…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…) ve gerçek sayılar. Bir gerçek sayı üç parçadan oluşur: ondalık kısım (İng: mantissa), üstel kısım (İng: exponent) ve işaret biti (İng: sign bit). Bir gerçek sayı (s ? -1 : 1) * 2^e * M ifadesiyle belirtilen bir kayan noktalı sayı ile ifade edilir (ifadedeki s işaret biti, e üstel kısım, M ise ondalık kısımdır). Daha ayrıntılı bilgi için Gerçek Sayı Gösterimi ile İlgili Kavramlar bölümüne bakınız. (Üstel kısım için farklı tabanlar mümkündür ama günümüzdeki hemen bütün donanımlar taban olarak 2 kullanır.)
Kayan noktalı sayıların gerçek sayıların sonlu bir alt kümesi olduğundan bahsedilebilir. Bu alt küme çoğu amaç için yeterince genişken, bir gerçek sayının sadece ondalık kısmının ikilik tabanda sınırlı bir bitsel açılımından daha dar yer kaplayan rasyonel sayılar olarak ifade edilirler. Hatta 1/5 gibi basit bir bölmenin sonucu bile kayan noktalı olarak yaklaşık bir değer olarabilir.
Matematiksel işlemler ve işlevler çoğunlukla gösterilemeyen değerler üretir. Bu değerler genellikle uygulamaya dönük olarak yeterli yaklaşıklıkta olur, fakat bazan bu bile mümkün olmaz. Tarihsel olarak, hesaplama sonuçlarının yeterince hassas olmadığını söylemenin bir yolu yoktur. Günümüz bilgisayarlarında sayısal hesaplamalar IEE 754 standardına uygun yapılır. Standart, hesaplama sonuçları güvenilir olmadığında yazılıma bunu belirten bir çerçeve tanımlar. Bu çerçeve sonucun neden gösterilemediğini belirten bir olağandışılıklar kümesinden oluşur. Bunlar sonsuzluk ve bir sayı değil (NaN -- Not a Number) gibi özel değerlerdir.

______________________________

Gerçek Sayı Türü Makroları
Gerçek sayılara özel gösterim makinadan makinaya değişir. Çünkü gerçek sayılar dahili olarak yaklaşık niceliklerle gösterilir. Gerçek sayı verilerle çalışan algoritmalar çoğunlukla makinanın doğru gerçek sayı gösterim ayrıntılarına dikkat etmeyi gerektirir.
C kütüphanesindeki bazı işlevlerin kendileri bu bilgiye gereksinim duyar; örneğin, gerçek sayıları okumak ve basmak (Bkz. Akımlar Üzerinde Giriş/Çıkış) için ve trigonometrik ve gerçel işlevlerin (Bkz. Matematik) hesaplanmasında kullanılan algoritmalar yuvarlama hatalarından ve hassasiyet kayıplarından kaçınmak için bunu kullanır. Sayısal analiz teknikleri gerçekleştiren bazı kullanıcı yazılımları da çoğunlukla hata sınırlarının küçültmesi ya da hesaplanması sırasında bu bilgiye ihtiyaç duyar.
float.h başlık dosyası makinanızda kullanılan biçimi açıklar.
Gerçek Sayı Gösterimi ile İlgili Kavramlar
Bu bölümde gerçek sayı gösterimleri ile ilgili terminolojiye değinilmiştir.
Büyük ihtimalle gerçek sayılar için üstel gösterim veya bilimsel terimler olarak bu kavramların çoğuna zaten aşinasınızdır. Örneğin 123456.0 sayısı üstel olarak 1.23456e+05 biçiminde, 1.23456 sayısı ile 10 üssü 5'in çarpımı olarak gösterilir.
Daha biçimsel olarak, gerçek sayıların bit gösterimi aşağıdaki terimlerle karakterize edilebilir:
İşaret biti ya -1 ya da 1'dir.
Üs alma için taban, 1'den büyük bir tamsayıdır. Belirli bir gösterim için bu bir sabittir.
Üstel kısım tabanın kendisiyle kaç defa çarpılacağını gösterir. Bir belirli gösterim için üs değerinin alt ve üst sınırları birer sabittir.
Bazan gerçek sayının bit gösteriminde üssü ifade eden kısım bir sabit eklenmesiyle daima işaretsiz bir nicelik yapılır. Bu sadece bit alanlarını ayırıp gerçek sayıyı kendiniz oluşturmak isterseniz önemli olur, ancak GNU kütüphanesinde böyle bir işlem için destek yoktur.
Ondalık kısım her gerçek sayının bir parçası olan bir işaretsiz tamsayıdır.
Ondalık kısmın hassasiyeti. Eğer bit gösteriminde taban b ise hassasiyet, ondalık kısmın taban-b sayıda basamağıdır. Bu belirli bir gösterim için bir sabittir.
Birçok gerçek sayı gösterimi ondalık kısım içinde bir örtük gizli bit içerir. Bu ondalık kısım içinde olduğu varsayılan bir bittir ancak bellekte saklanmaz, çünkü bir normalleştirilmiş sayı içinde daima 1 dir. Hassasiyet ile ilgili kısım kendi içinde çok sayıda gizli bit içerebilir.
Tekrar belirtelim, GNU kütüphanesi gerçek sayıların düşük seviye (ikilik tabandaki bit gösterimi) gösterimleri ile ilgili oluşumlara destek sağlamamaktadır.
Bir gerçek sayının bit gösterimindeki ondalık kısım dolaylı olarak paydası üstel taban hassasiyetteki bir kesri ifade eder. Bu ondalık kısım ile gösterilebilecek en büyük sayı bu paydadan bir eksiği olduğundan kesrin değeri daima birden küçüktür. Bu bit gösteriminin matematiksel değeri bu kesir ile işaret ve üstel tabanın çarpımıdır.
Not
Ç.N. - Özgün metinde burada anlatılan biraz karışık olmuş. Kafa karıştırmamak için çevirmedim. Basitçe ifade etmek gerekirse 32 bitlik gerçek sayı gösterimiyle ifade edilebilecek en küçük değer 2-149 olsa da bu sayı float türü için 2-126 olarak normalleştirilmiştir. En azından GNU C kütüphanesinde bu böyle.

Gerçek Sayılar ile İlgili Makrolar
Bu makroların tanımlarını float.h başlık dosyasında bulabilirsiniz.
FLT_ ile başlayan makro isimleri float türü ile, DBL_ ile başlayanlar double türü ile ve LDBL_ ile başlayanlar da long double türü ile ilgilidir. (GCC hedef makinada bir veri türü olarak long double türünü desteklemezse, LDBL_ ile başlayan sabitler double türüne karşılık olan sabitlere eşitlenir.)
Bu makrolardan sadece FLT_RADIX bir sabit ifadesi olarak garantilidir. Burada listelenmiş diğer sabitler #if önişlemci komutu ya da durağan dizilerin boyutları gibi yerlerde sabit ifadesi olarak güvenilir olamaz.
ISO C standardı bu parametrelerin en küçük ve en büyük değerlerini belirtse de, GNU C gerçeklemesi hedef makinada desteklenen gerçek sayı gösterimlerini açıklayan değerleri kullanır. Yani GNU C prensip olarak ISO C gereksinimlerini hedef makinanın yapabildiği kadarıyla karşılar. Uygulamada tüm makinalarda bu destekler zaten vardır.
FLT_ROUNDS
Bu değer gerçek sayı toplamasında yuvarlama kipini belirler. Standart yuvarlama kiplerinin değerleri:
-1
Bu kip belirlenebilir değildir.
0
Sıfıra yuvarlar.
1
En yakın sayıya yuvarlar.
2
Pozitif sonsuza yuvarlar.
3
Negatif sonsuza yuvarlar.
Diğer değerler, eğer varsa, makina bağımlı standart dışı yuvarlama kiplerini belirtir.
Gerçek sayılar için IEEE standardı gereğince çoğu makinada 1 değeri kullanılır.
Aşağıdaki tabloda FLT_ROUNDS sabitinin olası değerleri ile yuvarlamanın nasıl yapıldığı gösterilmiştir. Yuvarlama IEEE tek hassasiyetli gerçek sayılar standardına uygun olarak yapılmıştır.
0 1 2 3
1.00000003 1.0 1.0 1.00000012 1.0
1.00000007 1.0 1.00000012 1.00000012 1.0
-1.00000003 -1.0 -1.0 -1.0 -1.00000012
-1.00000007 -1.0 -1.00000012 -1.0 -1.00000012

FLT_RADIX
Bit gösteriminde üstel kısmın tabanına karşılık gelen değerdir. Bu bölümde açıklanan diğer makroların aksine bir sabit ifadesi olarak garantilidir. IBM 360 ve türevleri dışında bilinen tüm makinalar için değeri 2 dir.
FLT_MANT_DIG
float veri türü için gerçek sayının ondalık kısmındaki taban-FLT_RADIX basamağın basamak sayısıdır. Aşağıdaki ifade ondalık kısım basamaklarının sınırlı olmasından dolayı 1.0'a gider (matematiksel olarak olmasada):
float radix = FLT_RADIX;

1.0f + 1.0f / radix / radix / … / radix

Burada radix, FLT_MANT_DIG kere uygulanır.
DBL_MANT_DIG
LDBL_MANT_DIG
Sırasıyla double ve long double veri türleri için gerçek sayının ondalık kısmındaki taban-FLT_RADIX basamağın basamak sayısıdır.
FLT_DIG
float türü için hassasiyeti belirleyen ondalık basamakların sayısıdır. Teknik olarak h ve i sırasıyla ikilik gösterimdeki hassasiyet ve taban ise ve ondalık basamakların sayısı o onluk gösterimdeki hassasiyet ise, örneğin, 10 tabanındaki o basamaklı bir gerçek sayı b tabanındaki h basamağa yuvarlanır ve o ondalık basamak sayısı değiştirilmeksizin tekrar geri alınır.
Bu makronun değerinin ISO C gereksinimlerini karşılamak üzere en azından 6 olacağı varsayılır.
DBL_DIG
LDBL_DIG
FLT_DIG'e benzerler ancak sırasıyla double ve long double veri türleri içindir. Bu makroların değerlerinin en azından 10 olacağı varsayılır.
FLT_MIN_EXP
float türü için ikilik gösterimdeki mümkün en küçük üs değeridir. Daha ayrıntılı ifade etmek gerekirse, float türündeki normalleştirilmiş bir gerçek sayı olarak FLT_RADIX değerinin bu değerden bir eksiğinin artan kuvvetlerinden elde edilebilecek en küçük değerini sağlayacak olan en küçük negatif tamsayıdır. (Pratikte float türü için en küçük değer 2-125-1 dir ve burada FLT_MIN_EXP -125 tir.)
DBL_MIN_EXP
LDBL_MIN_EXP
FLT_MIN_EXP'e benzerler ancak sırasıyla double ve long double veri türleri içindir.
FLT_MIN_10_EXP
float türü için onluk tabanda üssün en küçük negatif değeri olan bir tamsayıdır. Normalleştirilmiş gerçek sayıların mümkün en küçük değeri için 10'un bu değerden 1 eksiği artan kuvvetindeki değerine karşılıktır. Bu değerin -37 veya daha az olduğu varsayılır.
DBL_MIN_10_EXP
LDBL_MIN_10_EXP
FLT_MIN_10_EXP'e benzerler ancak sırasıyla double ve long double veri türleri içindir.
FLT_MAX_EXP
float türü için ikilik gösterimdeki mümkün en büyük üs değeridir. Daha ayrıntılı ifade etmek gerekirse, float türündeki normalleştirilmiş bir gerçek sayı olarak FLT_RADIX değerinin bu değerden bir eksiğinin artan kuvvetlerinden elde edilebilecek en büyük değerini sağlayacak olan en büyük pozitif tamsayıdır.
DBL_MAX_EXP
LDBL_MAX_EXP
FLT_MAX_EXP'e benzerler ancak sırasıyla double ve long double veri türleri içindir.
FLT_MAX_10_EXP
float türü için onluk tabanda üssün en büyük değeri olan bir pozitif tamsayıdır. Normalleştirilmiş gerçek sayıların mümkün en küçük değeri için 10'un bu değerden 1 eksiği artan kuvvetindeki değerine karşılıktır. Bu değerin en azından 37 olduğu varsayılır.
DBL_MAX_10_EXP
LDBL_MAX_10_EXP
FLT_MAX_10_EXP'e benzerler ancak sırasıyla double ve long double veri türleri içindir.
FLT_MAX
Bu makronun değeri float türünde ifade edilebilecek en büyük gerçek sayının değeridir. Bu değerin en azından 1E+37 olacağı varsayılır ve bu değer float türündendir.
İfade edilebilir en küçük sayı ise - FLT_MAX'tır.
DBL_MAX
LDBL_MAX
FLT_MAX'e benzerler ancak sırasıyla double ve long double veri türleri içindir. Makro değerinin veri türü kendi türü ile aynıdır.
FLT_MIN
Bu makronun değeri float türünde ifade edilebilecek en küçük gerçek sayının değeridir. Bu değerin 1E-37'den daha büyük olmayacağı varsayılır ve bu değer float türündendir.
DBL_MIN
LDBL_MIN
FLT_MIN'e benzerler ancak sırasıyla double ve long double veri türleri içindir. Makro değerinin veri türü kendi türü ile aynıdır.
FLT_EPSILON
1.0 + FLT_EPSILON != 1.0 gibi bir ifadeyi doğrulayan float türündeki en küçük pozitif gerçek sayıdır. 1E-5'den büyük olmayacağı varsayılır.
DBL_EPSILON
LDBL_EPSILON
FLT_MIN'e benzerler ancak sırasıyla double ve long double veri türleri içindir. Makro değerinin veri türü kendi türü ile aynıdır. Bu değerlerin 1E-9'dan daha büyük olmayacağı varsayılır.
IEEE Gerçek Sayı Gösterimleri
Burada, en genel gerçek sayı gösterimi olan [IEEE Standard for Binary Floating Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985)] tarafından belirtilmiş gerçek sayı metrikleri için bir örnek gösterilmektedir. 1980 lerden sonra tasarlanan tüm bilgisayarlar bu biçimi kullanır.
IEEE tek hassasiyetli gerçek sayı biçimi ikilik tabanı kullanır. Bir işaret biti, 23 artı bir gizli bit olmak üzere (yani toplam hassasiyet 24 taban-2 basamak) 24 bitlik ondalık kısım ile -125 ile 128 aralığındaki üs değerleri için 8 bitlik üstel kısımdan oluşan bir gösterim sunar.
Bu gösterimin float veri türünü gerçeklemekte kullanılan ilgili değerleri aşağıda gösterilmiştir.
FLT_RADIX 2
FLT_MANT_DIG 24
FLT_DIG 6
FLT_MIN_EXP -125
FLT_MIN_10_EXP -37
FLT_MAX_EXP 128
FLT_MAX_10_EXP +38
FLT_MIN 1.17549435E-38F
FLT_MAX 3.40282347E+38F
FLT_EPSILON 1.19209290E-07F

Bunlar da double veri türü içindir:
DBL_MANT_DIG 53
DBL_DIG 15
DBL_MIN_EXP -1021
DBL_MIN_10_EXP -307
DBL_MAX_EXP 1024
DBL_MAX_10_EXP 308
DBL_MAX 1.7976931348623157E+308
DBL_MIN 2.2250738585072014E-308
DBL_EPSILON 2.2204460492503131E-016